Sobre el número de Compuestos menores a una cantidad dada y el número φ
Gustavo Francisco Mendoza Grisales
“In the higher arithmetic the most elegant theorems frequently arise experimentally as the result of a more or less unexpected stroke of good fortune, while their proofs . . . elude all attempts and defeat the sharpest enquiries” — C.F. Gauss
En el séptimo libro de los Elementos (siglo 3 a.C.), Euclides definió a un número primo como "aquél que sólo es medido por la unidad" (definición 12) y a la unidad como "aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una" (definición 1); asimismo, definió al número como una "pluralidad compuesta de unidades" (definición 2), al número compuesto (e.g. 4,6,8,10,12,14,15,16…) como "aquel que es medido por algún número primo" (definición 14), y al número fi (simbolizado por la letra griega φ) como la "media y extrema razón de un segmento" (libro 6, proposición 30)(1).
"La geometría tiene dos
tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras; el otro, la división de un
segmento en razón media y extrema. Al primero se le puede comparar a una medida de oro; a la segunda se le puede considerar una preciosa joya" <<J. Kepler>>
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La sección áurea surge a partir de la división del segmento AC con el punto B en extrema y media razón, lo cual se reduce a la ecuación algebraica x^2 – x – 1 = 0 cuyas raíces son φ y -1/φ. AC/AB = AB/BC = φ ≈ (1+ √5)/2 ≈ 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544… |
Por otro lado, Euclides no conocía el número e, el cual es la base de los logaritmos naturales y de la función exponencial; de hecho, al parecer nadie conocía a la constante de Napier (i.e. 2,718281828...) antes de Jacob Bernoulli (siglo 17 d.C.), quién la descubrió cuando encontró la respuesta a una pregunta sobre interés compuesto y la definió como el valor límite de un interés continuo sobre una cantidad n dada (2):
limn→∞ (1+1/n)^n = e ≈ 2,71828182845904523536028747….
Casi un siglo después de la publicación de Bernoulli, Gauss conjeturó que el enésimo número primo, o “pn”, es asintóticamente igual a n veces el logaritmo natural de n (i.e. limn→∞ nlog(n)/pn = 1) (3), lo cual significa que la cantidad de primos que hay en cualquier valor de n > e se aproxima al número de veces que log(n) está contenido en n (i.e. n/log(n)), y también quiere decir que la proporción de números menores a una cantidad dada que son primos, se aproxima a la cantidad de veces que el log(n) está contenido en 1 (i.e. 1/log(n)).
Posteriormente en el año 1896, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin descubrieron, de modo independiente, una demostración analítica de la conjetura de Gauss (4), por lo que desde entonces dicha conjetura se conoce como el Teorema de los Números Primos, TNP (53 años después, Paul Erdös y Atle Selberg publicaron por separado una demostración “elemental” del TNP (5)):
I. limn→∞ π(n)log(n)/n = 1
Teorema de los Números Primos TNP ("local minimun"=e=2,718... en n=e) (CLICK aquí)
Sin embargo, debido a la validez asintótica del TNP, dicho teorema no es del todo útil para determinar con exactitud el rango de la función contadora de números primos, conocida como π(n), para cualquier valor finito de su dominio, pues aunque el error relativo del TNP ciertamente tiende a 1, su error absoluto tiende a infinito:
II. limn→∞ π(n) – n/log(n) = ∞
Función contadora de Números Primos: Pi(n) (CLICK aquí)
De hecho, el número de las primeras cifras decimales de π(n) que acierta el TNP es de aproximadamente log10log10(n) ó [loglog(n)-loglog(10)]/log(10), razón por la cual sólo en valores “suficientemente grandes” de n se puede apreciar mejor dicho acierto (6):
log10log10(10^1000) = 3
Sin lugar a dudas, conocer el modo en que los números primos se distribuyen a lo largo de la recta numérica es de una importancia tal que no necesita demostración, tanto en la Teoría de Números como fuera de ésta, pues el Teorema Fundamental de la Aritmética se basa en la multiplicación de los primos, cuyas propiedades aritméticas son la base de múltiples aplicaciones externas a las matemáticas, como la música, el arte y la criptografía.
Adicionalmente, puesto que hay muchas preguntas milenarias con respecto a la secuencia de los números primos que aún no se han podido responder satisfactoriamente utilizando tan sólo las herramientas matemáticas que se conocen hasta la actualidad, es preciso entonces desarrollar nuevas herramientas que puedan iluminar dicha secuencia, la cual ha permanecido en una especie de “penumbra” teórica para los matemáticos… y si no se desarrollan nuevos conceptos, entonces quizá pueda ser útil cambiar de perspectiva y abordar las mismas preguntas con la misma información conocida pero desde una óptica distinta, de modo que se pueda obtener "más información con la misma información".
En efecto, cuando se observa un objeto desde múltiples ángulos y a distancias diferentes se pueden observar detalles que quizá no se perciban desde una misma perspectiva, y así, en vez de preguntarse cuántos números primos hay en n, o cuál es el valor del primo n (i.e. el enésimo primo), se puede preguntar sobre el número de Compuestos menores que una cantidad dada, o cuál es el valor del enésimo Compuesto.
Ciertamente, si se conociera con exactitud la distribución de los números primos, ello implicaría que también se conocería la de los compuestos y viceversa; además, dado a que la probabilidad de que un número n impar sea compuesto es directamente proporcional a la cantidad de sus dígitos, entonces quizá los compuestos proporcionen más información sobre los primos debido a su abundancia, pues visto como un todo, el conjunto N de los números naturales está compuesto casi por entero de números compuestos, o por lo menos en un 100% asintótico.
Efectivamente, la probabilidad P de que un número n sea primo disminuye conforme n crece (la P de que n sea primo es aproximadamente de 1/log(n)), mientras que la P de que n sea compuesto se incrementa cada vez que n crece (la P de que n sea compuesto es aprox. de [log(n) – 1]/log(n)); entonces en el límite cuando n →∞ la P de que n sea primo es 0%, mientras que la P de que ese mismo n sea compuesto es del 100% en ese mismo límite; evidentemente, es preciso señalar que estos resultados son sólo ciertos imponiendo un límite arbitrario a n, pues Euclides ya demostró mediante un argumento lógico (i.e. por reducción al absurdo) de que siempre se puede hallar un número primo mayor que otro primo (proposición 20, libro IX) (1).
En este orden de ideas, en la búsqueda de una fórmula que calcule el número de Compuestos menores que una cantidad dada, pude derivar la siguiente expresión a partir del TNP:
III. C(n) ≈ n[(log(n))^2 - log(n) - 1]/(log(n))^2
Cantidad teórica de Números Compuestos que hay en n (CLICK aquí) cantidad estimada de números compuestos que hay en exp(x) con una raíz en fi = 1,6... (CLICK aquí)
La fórmula III arroja valores muy aproximados (para cualquier n > 6) a los del rango de la función contadora de números compuestos o C(n), por lo que se puede establecer la siguiente conjetura con respecto a la distribución de los compuestos (ver sub-apéndice Zero):
IV. limn→∞ (C(n)[(log(n))^2])/(n[(log(n))^2 - log(n) - 1]) = 1
Además de que la fórmula III permite obtener un estimado estadísticamente significativo del número de compuestos que hay en n, también demuestra fehacientemente la conexión del número φ con la teoría de números, en tanto que la fórmula III tiene dos raíces en n = exp(-1/φ) y en n = exp(φ):
Reemplazando a n por exp(φ) se obtiene:
V. e^φ x [(log(e^φ))^2 – log(e^φ) – 1]/[(log(e^φ))^2]
= e^φ x (φ^2 – φ – 1)/φ^2
= e^φ x (φ^2 – φ – 1)/φ^2
= 5,043…x (2,618… – 1,618…– 1)/2,618…
= 0
Raíz de la fórmula III: n=exp(1,61803398874989484820458683436...) (CLICK aquí)
= 0
Raíz de la fórmula III: n=exp(1,61803398874989484820458683436...) (CLICK aquí)
Ahora reemplazando por exp(-1/φ):
VI. e^-1/φ x ((log[e^-1/φ])^2 – log[e^-1/φ] – 1)/(log[e^-1/φ])^2
= (1 + φ – φ^2 )/exp(1/φ)
= (1 + 1,618…– 2,618…)/(1,855…)
= 0
Raíz conjugada (CLICK aquí)
= (1 + φ – φ^2 )/exp(1/φ)
= (1 + 1,618…– 2,618…)/(1,855…)
= 0
Raíz conjugada (CLICK aquí)
Es preciso resaltar que estas raíces "doradas", asociadas a los números compuestos, tienen también una conexión directa con los números primos mediante una fórmula que deduje del TNP para calcular el enésimo primo pn con mayor precisión y, por ende, también la cantidad de primos menores a un número dado (6):
Si x se extiende a los números reales R, la fórmula VII tiene
su valor mínimo en x = -φ (i.e. -1,6180339...), reemplazando:
Valor mínimo en n=-fi=-1,61803398874989484820458683436... (CLICK aquí)
-φexp(φ)exp(1/φ) = -φ/exp(5^1/2) ≈ -0,1729...
Haga CLICK aquí
su valor mínimo en x = -φ (i.e. -1,6180339...), reemplazando:
Valor mínimo en n=-fi=-1,61803398874989484820458683436... (CLICK aquí)
-φexp(φ)exp(1/φ) = -φ/exp(5^1/2) ≈ -0,1729...
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De la fórmula VII hablo con más detalle en 6 (ver la sección de la bibliografía), donde explico cómo deduje la raíz logarítmica de e (i.e. exp[1/log(n)]) como una expresión asintóticamente igual al error del TNP, es decir:
* limn→∞ (π(n)log(n)/n)^log(n) = e = 2,718281828459…
Por último, sobre la fórmula VII sólo quiero resaltar un punto de “media y extrema importancia”, el cual relaciona al número φ con el número e utilizando solamente el TNP, pues φ emerge “expontáneamente” como exponente de e cuando se añade al TNP la raíz logarítmica de e como “factor de ajuste” de dicho teorema, de manera que la fórmula séptima no sólo permite obtener una mejor estimación del enésimo primo pn, sino que también demuestra la conexión áurea de φ con el TNP.
Asimismo, las fórmulas III y VII están ligadas por dos números e y F (F es el valor de n donde una fórmula asintótica para la función π(n), derivada de VII para calcular el número de primos menores a una cantidad n dada, obtiene un valor mínimo local; asimismo, F constituye una singularidad de una fórmula derivada de III para estimar el valor del enésimo compuesto… (ver el Apéndice Lambda punto 4 y 2). Los números e y F vinculan a la media y extrema razón de Euclides con la Teoría de Números pues son dos números que tienen en común la distribución de los números primos y compuestos de acuerdo a las propiedades aritméticas de las fórmulas III y VII (6):
Asimismo, las fórmulas III y VII están ligadas por dos números e y F (F es el valor de n donde una fórmula asintótica para la función π(n), derivada de VII para calcular el número de primos menores a una cantidad n dada, obtiene un valor mínimo local; asimismo, F constituye una singularidad de una fórmula derivada de III para estimar el valor del enésimo compuesto… (ver el Apéndice Lambda punto 4 y 2). Los números e y F vinculan a la media y extrema razón de Euclides con la Teoría de Números pues son dos números que tienen en común la distribución de los números primos y compuestos de acuerdo a las propiedades aritméticas de las fórmulas III y VII (6):
* e^φ = ∑φ^n/n! = 1 + φ + φ^2/2 + φ^3/6⋯+ φ^n/n!
exp(fi) como el valor límite de una sumatoria infinita (CLICK aquí)
exp(fi) como el valor límite de una sumatoria infinita (CLICK aquí)
e= exp(-1/φ) ≈ 0,53900308272404462096193789836…
Apéndice L- Lambda
La numeración comienza con el primer número compuesto (i.e. 4), sigue con el primer número primo impar (i.e. 3), luego con el primer y último número primo par (i.e. 2) y termina con el primer par (i.e. 0) -el 1 no se considera un número y por ende no es primo ni compuesto, según las definiciones de Euclides, por eso se omite en esta "enumeración"-:
4) Sea Cn el enésimo número Compuesto tal que C1 = 4, C2 = 6, C3 = 8, C4 = 9, C5 = 10, C6 = 12… Cn, entonces de la fórmula III se deduce que:
Cn ≈ n[(log[n])^2]/[(log[n])^2 – log(n) – 1]
La función anterior tiene una singularidad en e^φ = F.≈ 5,04316564336…
3) Sea pn el enésimo primo tal que p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13… pn, entonces de la fórmula VII se deduce que (6):
pn ≈ exp[1/log(n)]n(log[n])
enésimo primo teórico (aplicando la raíz logarítmica de e al TNP) (CLICK)
enésimo primo teórico (aplicando la raíz logarítmica de e al TNP) (CLICK)
La función tiene un valor mínimo de -φ/exp(5^1/2) ≈ -0,1729
cuando n = exp(-φ) = 1/F.≈ 1/5,043 ≈ 0,1982...
función asintótica del primo número exp(x)-th: valor mínimo en x = -fi = -1,618...(CLICK)
2) De la fórmula VII se puede deducir una fórmula para estimar, con mayor precisión que el TNP, el número de primos menores a una cantidad n dada (6):
cuando n = exp(φ), se obtiene el número e^φ[e^(φ^-1)]φ^(-1) correspondiente a un valor local mínimo de la fórmula anterior (6):
π(n) ≈ exp[1/log(n)]n(1/log[n])
Teorema "Dorado" de los Números Primos (CLICK)
Fórmula asintótica de la cantidad de primos que hay en exp(x) (CLICK)
Teorema "Dorado" de los Números Primos (CLICK)
Fórmula asintótica de la cantidad de primos que hay en exp(x) (CLICK)
cuando n = exp(φ), se obtiene el número e^φ[e^(φ^-1)]φ^(-1) correspondiente a un valor local mínimo de la fórmula anterior (6):
e^φ[e^(1/φ)]/φ = exp(φ)exp(1/φ)φ^(-1)
Sub-Lpéndice zero No Trivial-0
Sea c(n) la función contadora de números compuestos, g(n), el número teórico de compuestos menores a una cantidad n dada (ver fórmula III), % el porcentaje de precisión del valor teórico con respecto al real, Cn el enésimo número compuesto y Gn el valor teórico de Cn (ver punto 4 de este apéndice) con su respectivos porcentajes de precisión %. Cabe resaltar que todos los valores teóricos son asintóticamente iguales a los valores reales:
Sea c(n) la función contadora de números compuestos, g(n), el número teórico de compuestos menores a una cantidad n dada (ver fórmula III), % el porcentaje de precisión del valor teórico con respecto al real, Cn el enésimo número compuesto y Gn el valor teórico de Cn (ver punto 4 de este apéndice) con su respectivos porcentajes de precisión %. Cabe resaltar que todos los valores teóricos son asintóticamente iguales a los valores reales:
n c(n) g(n) % Cn Gn %
10 5 3,77 75,42 18 26,51 67,93
10^2 74 73,57 99,42 133 135,92 97,85
10^3 831 834,28 99,61 1.197 1.198,64 99,91
10^4 8.770 8.796,38 99,71 11.374 11.368,31 99,95
10^5 90.407 90.559,66 99,83 110.487 110.424,44 99,94
10^6 921.501 922.378,37 99,91 1´084.605 1´084.153,78 99,96
10^7 9´335.420 9´341.087,13 99,94 10´708.555 10´708.392,06 99,97
10^8 94´238.544 94´276.613,2 99,96 106´041.745 106´070.844,72 99,98
10^9 949´152.465 949´416.518,1 99,97 1.053´422.339 1.053´278.493,6 99,99
10^10 9.544´947.488 9.546´844.348,4 99,98 10.475´688.327 10.474´665.381,6 99,99
En la tabla anterior se puede ver que:
c(n) < n < Cn En la tabla anterior se puede ver que:
aunque en el infinito esta desigualdad se percibe como una "identidad asintótica", es decir:
limn→∞ c(n) = n = Cn
Adicionalmente a la tabla anterior, la siguiente tabla muestra cómo las medias aritméticas (m.A.) y las medias geométricas (m.G.)entre los valores de c(n) y Cn se aproximan cada vez más a n conforme n se incrementa, y por ende sus medias heronianas (m.H.) también se aproximan asintóticamente a n:
n m.A. m.H. m.G.
10 1,150 x 10 10,83 9,49
10 1,150 x 10 10,83 9,49
10^2 1,035 x 10^2 102,07 99,21
10^3 1,0140 x 10^3 1.008,45 997,35
10^4 1,0072 x 10^4 10.043,83 9.987,49
10^5 1,0044 x 10^5 100.279,32 99.943,98
10^6 1,0030 x 10^6 1´001.946,09 999.732,26
10^7 1,0022 x 10^7 10´014.139,27 9´998.442,79
10^8 1,0016 x 10^8 100´082.127,17 99´989.657,36
10^9 1,0010 x 10^9 1.000´834.668,79 999´929.202,36
10^10 1,0008 x 10^10 10.006´710.183,77 9.999´494.736,33
En la tabla anterior se puede ver que: .
Sin embargo, en el infinito esta desigualdad se percibe como una identidad "asintótica", es decir:
m.A. > m.H. > n > m.G.
Sin embargo, en el infinito esta desigualdad se percibe como una identidad "asintótica", es decir:
limn→∞ m.A. = m.H. = m.G. = n
Es importante resaltar que las anteriores identidades asintóticas son factibles sólo por la imposición de un límite, pues ciertamente las desigualdades se conservan sin que importe el número de cifras de n, en otras palabras, dichas identidades asintóticas no tienen ninguna validez matemática pero son, en efecto, identidades sin diferencias estadísticamente significativas.
Por último, con respecto a los números primos, y hablando de identidades asintóticas, cabe señalar que en la demostración "elemental" del TNP, Erdös y Selberg se valieron de la siguiente identidad -válida sólo cuando n tienda a su límite "metanumérico": el infinito-:
Asimismo, con respecto a los valores del enésimo primo pn y de la función contadora de primos π(n) divergen rápidamente en una proporción de aproximadamente [log(n)]^2 (7):
limn→∞ pn = pn-1
Asimismo, con respecto a los valores del enésimo primo pn y de la función contadora de primos π(n) divergen rápidamente en una proporción de aproximadamente [log(n)]^2 (7):
limn→∞ (pn/π(n))^1/2 = log(n)
limn→∞ pn = π(n)(log[n])^2
limn→∞ π(n) = pn/(log[n])^2
Igualmente, la media aritmética (m.A.) entre pn y n diverge de su media geométrica (m.G.) en un factor de aproximadamente log(n)/2 = log(n^1/2), es decir que la m.A. es, asintóticamente, igual a la m.G. por log(√n) (7):
limn→∞ (pn + π(n))/2 = log(√n)(pnπ(n))^1/2 = nlog(n)/2 = pn/2
limn→∞ (pn+π(n))(pnπ(n))^-1/2 = log(n)
Bibliografía:
1) J.L. Heiberg & H. Menge, 18831916, Euclidis Opera Omnia, 8 vol. y suplementos, Ed. Teubner Leipzig.
2) J. Bernoulli (1.690), "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the ''Journal des Savants'' [''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''], in the year 1.685) ''Acta eruditorum'', pp. 219-223.
3) C. F. Gauss, Werke, Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863
4) J. E. Littlewood. The quickest proof of the prime number theorem. Acta Arith., 18:83–86
5) G.H. Hardy & E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Press, fifth edition 1979
7) G.F. Mendoza, Estudio estadigráfico de la distribución "anormal" de los números primos (Artículo aún en desarrollo, sin publicar)
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