¿Qué tiene que ver el número φ con el Teorema de los Números Primos (i.e. φ = 1/2 + √5/2)?

Esta entrada participa en la Edición 6.X "El grafo" del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas Carnaval de Matemáticas edición 6 

El número φ y su conexión "mínima" con 

los números primos 

(φ = 1/2 + √5/2 = 1,6180339...)  

Por: G. F. Mendoza

"En Aritmética, los teoremas más elegantes frecuentemente surgen de manera experimental como resultado de un golpe de buena fortuna mas o menos inesperado, mientras sus pruebas eluden todo intento y derrotan las mas agudas indagaciones..."  C. F. Gauss

El Teorema Fundamental de la Aritmética, o teorema de factorización única, sostiene que a todo número natural mayor a 1 es factible representarlo, de manera única, como producto de factores primos (1). Por otro lado, pero en conexión con lo anterior, en el histórico libro de los Elementos, el griego Euclides (siglo 3 a.C.) definió al 1, o la unidad, como aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama "uno" (definición 1); también definió a un número como una pluralidad compuesta de unidades (definición 2); por lo cual aunque al 1 lo definen comúnmente como un número natural, según Euclides éste no es un número per se, sino la unidad estructural de los números sensu strictu (2). 

Adicionalmente, de acuerdo con los Elementos, un número compuesto (i.e. 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18…C_n) es aquel que es medido por algún número primo (definición 14), y un número primo (i.e. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... p_n) es aquél que sólo es medido por la unidad (definición 12). Hoy por hoy, los matemáticos definen a un número p como primo si, y sólo si, p > 1, y p sólo es divisible por sí mismo o por la unidad; además, el símbolo p que designa al número pi (i.e. p = 3,14159...) en Geometría, también denota en Teoría de Números a la función contadora de números primos: p(x) (3). 

                      Función contadora de números primos p(x) (CLICK here)

Por otro lado, existe un número irracional y transcendente conocido como e (cuyo valor, truncado a trece cifras, es 2,718281828459...) de gran "trascendencia"  en el Cálculo, casi equivalente a la del número p en Geometría; además, e presenta propiedades interesantes que revisten gran importancia dentro y fuera de las Matemáticas, una de las cuales es que la función exponencial (i.e. e^x = exp(x)) permanece sin cambio aunque se derive o se integre -por eso hay quienes afirman metafóricamente que el "rey del Cálculo" es e- (4).


Sin lugar a dudas las cualidades sobresalientes de e son materia prima de todo un libro, y remito al lector interesado a la On-line Encyclopedia of Integer Sequences (conocida como oeis por sus siglas en inglés), donde encontrará más información detallada, y científicamente confiable, acerca de este número tan e-special (también puede hallar muchos datos sobre otras secuencias diferentes de números y sus interacciones aritméticas) (5).

Primeras cifras del número e y más información en la oeis (CLICK here)

De cierto modo, llama la atención de e su notable ausencia en los 13 libros de los Elementos, ya que Euclides ni siquiera sospechaba su existencia; de hecho, nadie antes del siglo 17 d. C. conocía este número trascendental, cuya primera referencia la hizo el escocés John Napier en 1.614, y cuyo valor fue determinado, como un valor límite, por el suizo Jacob Bernoulli (6), en 1.685, resolviendo así un problema de e-conomía sobre interés compuesto (7):

limn→∞ (1+1/n)^n = e   (CLICK here)

Probablemente, el número e atrae más la atención por su conexión natural con la distribución de los números primos, pues el valor de p(x) se aproxima "asintóticamente" al cociente entre x y log(x), es decir, cuando x tiende a infinito, la cantidad de números primos menores o iguales a  x se considera "igual a" x/log(x). 


       Cantidad aproximada de números primos menores o iguales a x (CLICK here)

                                                      

Es importante señalar que, antes del límite cuando x tiende a infinito, siempre se conservará la siguiente desigualdad si, y sólo si, x no es lo suficientemente "grande":  p(x) > x/log(x). De igual manera, conforme x sea más grande, asimismo la diferencia entre p(x) y x/log(x) será cada vez mayor, aunque en términos relativos el error sea cada vez menor. 

limn→∞ π(n) - log(n)/n = ∞

Teorema de los números primos cuando x NO tiende a infinito (CLICK here)

Adicionalmente, el reconocido como "príncipe" en las matemáticas descubrió una mejor estimación de p(x) que la que brinda el cociente x/log(x), conocida como la integral logarítmica, o li(x), una integral fundamental asociada al Teorema de los Números Primos (existe una integral denominada la integral logarítmica desplazada, la cual evita la singularidad en el dominio de integración de li(x)) (8).


Enhorabuena, desde muy jovén Gauss estudió la distribución de los números primos entre los números naturales y, analizando también las tablas de los logaritmos naturales, cuya base vale recordar que es e (la expresión log(x) representa en este blog al logaritmo natural de x), este matemático alemán pudo determinar, siendo sólo un adolescente menor de 18 años, que dicha distribución está estrechamente ligada con dichos logaritmos. De hecho, Gauss reconoció un aparente "patrón logarítmico" en la cantidad de números primos menores o iguales a un número natural x, y conjeturó a finales del siglo 18 que el valor de p(x) se aproxima notable y asintóticamente al cociente x/log(x) (9): 

 limn→∞ π(n)log(n)/n = 1

             Teorema de los Números Primos cuando x tiende a infinito (CLICK here)

Posteriormente, casi 100 años después al final del siglo 19, la conjetura de Gauss se constituyó en el Teorema de los Números Primos (en adelante TNP),  cuya demostración analítica la publicaron de forma independiente Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, en 1.896 (10), apoyados principalmente en los escritos del matemático alemán Bernhard Riemann (1.826 - 1.866) y, en particular, en la distribución de los famosos ceros no triviales de la función zeta de Riemann  (53 años después, Paul Erdös y Atle Selberg descubrieron "juntos", pero publicaron por separado, una demostración “elemental” del TNP (11)).

Desde la aparición de la primera demostración no analítica del TNP, han surgido muchas demostraciones más de dicho teorema, tanto analíticas como elementales, y quizá sea mínimo lo que se le pueda añadir actualmente al TNP. Sin embargo, hace muy poco tiempo encontré una conexión "mínima" entre el TNP y un número de media y extrema importancia distinto a e (vale la pena resaltar que el TNP es uno de los teoremas más importantes en Teoría de Números después del Teorema Fundamental de la Aritmética, el cual se basa en números primos).  


En efecto, enhorabuena pude deducir del TNP a la "raíz logarítmica de e" como una aproximación asintótica del cociente p(x)log(x)/x, en tanto que dicho cociente arroja un número C tal que 1 <= C < 2, y C.x/log(x) es un cálculo exacto, aunque evidentemente tautológico, del valor de p(x) para cualquier valor finito de x, que para el caso "curioso" de x = 100, p(100)log(100)/100 vale EXACTA e interesantemente la mitad del logaritmo natural de diez, es decir, C = 1/2(log(10)) = p(100)log(100)/100, lo cual significa que  1/2(log(10)).100/log(100) = p(100) = 5^2 = 25.


Ahora bién, cuando se añade la raíz log(x) de e al TNP, se obtiene una expresión "dorada" del TNP, la cual permite una estimación más precisa de p(x) que x/log(x). Adicionalmente, cuando la raíz log(x) de e se multiplica por n/log(n), surgen expontáneamente 2 puntos críticos asociados al número fi (i.e. φ = 1/2 + √5/2), los cuales corresponden a los valores mínimos locales de dicha multiplicación: en un punto crítico, φ aparece como exponente "dorado" de e, es decir que la expresión "dorada" del TNP alcanza un valor mínimo local de (e^φ)(e^(1/φ))/φ = exp(√5)/φ = 9,36./1,62. = 5,78.,  en x = exp(φ) = e^φ = 5,04., y en el otro punto crítico de la expresión "dorada" del Teorema de los Números Primos,  φ aparece de nuevo, pero esta vez como índice en la raíz "dorada" del número e, cuando el TNP "dorado" alcanza su menor valor mínimo local, el cual es de -φ/[(e^φ)(e^(1/φ))] = -φ/exp(√5) = -1,62./9,36. = -0,173., en x = 1/exp(1/φ) = 1/1,86. = 0,54.

Asimismo es interesante señalar que la derivada de la expresión "dorada" del TNP tiene 2 raíces en los valores de x en donde el TNP, multiplicado por la raíz logarítmica de e, presenta sus dos valores mínimos locales, es decir, en x = e^φ = 5,04., y en x = 1/exp(1/φ) = 0,54. Del mismo modo, la derivada del TNP ó x/log(x), tiene una raíz en el valor donde el TNP, sin la raíz log(x) de e, presenta su valor mínimo (el TNP, en este caso, tiene un valor mínimo local igual a e = 2,72., en x = e = 2,72.). 


En otras palabras, con sólo agregar la raíz logarítmica de e al TNP, este teorema pasa de tener un valor mínimo local en x = exp(1), a tener un valor mínimo local en x = exp(φ), un resultado que quizá sería definitivamente trivial, o pasaría por completo inadvertido, si el número φ no tuviera la importancia que ha tenido durante ya miles de años en las matemáticas (considérese también la creciente importancia de φ en otros campos del conocimiento matemático, no sólo en geometría y ahora en Teoría de Números).


Ciertamente las propiedades aritméticas y geométricas del número φ, definido por Euclides como la "media y extrema razón" de un segmento [de línea] (libro 6, proposición 30) (2), han hecho de φ un número, además de interesante, muy importante más allá de los límites matemáticos, siendo protagonista en campos tan diversos como la mecánica cuántica, la biología, la música y el arte. Inclusive, Leonardo Da Vinci llegó al extremo y medio de considerar "divino" al número φ, considerado bajo ciertos criterios como el número más "irracional" sin ser transcendental, pues es algebraico (otros "sobrenombres" actuales de φ son: número dorado o de oro, proporción aúrea, extrema y media razón, entre otros) (12).


Por tal razón, aunque la conexión entre el número φ y el TNP sea "mínima", no deja de ser, a mi juicio, una relación bastante "sospechosa" -en el buen sentido de la palabra-, pues aunque hoy día la relación del número e con los números primos pueda parecer "trivial", casi 220 años después de que Gauss conectara por primera vez en la historia de la Teoría de Números a los primos con e, muy probablemente este "sencillo" resultado tuvo que haber tomado por sorpresa a la comunidad matemática de ese entonces.  


Por ahora es preciso seguir investigando más al "número de oro" y su relación con el TNP. Quizá halla más información implícita en esos puntos críticos que se pueden observar en este gráfico o plot. Tal vez el número φ sea la "clave de oro" para la comprensión cabal de la distribución de los números primos y, porqué no especular lo mínimo, probablemente el número "divino" permita, junto al número e, el desarrollo de un algoritmo "elemental" para hallar "rápidamente" cualquier número primo, sin importar cuántas cifras pueda tener dicho primo. 


En resumen, el número φ está asociado formalmente con los números primos mediante la raíz logarítmica de e y el Teorema del Número Primo, un hecho que aporta un dato relevante para comprender aún más la distribución de estos números tan intensamente estudiados por generaciones de matemáticos desde la antigüedad, los cuales plantean preguntas sencillas de formular pero difíciles de responder; de hecho, existen varias incógnitas sobre los primos que se han conservado vigentes desde que fueron hechas hace milenios, sin que nadie haya podido resolverlas satisfactoriamente hasta el día de hoy.

Fi.nalmente, es importante señalar que el número φ también se encuentra asociado a la distribución de los números compuestos (13) y, puesto que los números no primos mayores a uno son necesariamente números compuestos, y que si se sabe con exactitud cuántos primos hay en cualquier número dado x, también se sabrá cuántos compuestos hay con exactitud en ese mismo número x, entonces ciertamente la conexión mínima del número φ con el TNP es, sin presunción ni exageración alguna, NO TRIVIAL.

φ

e

p

1. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine, http://www.wolframalpha.com/input/?i=fundamental+theorem+of+arithmeticRecuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web

 2. J.L. Heiberg & H. Menge, 18831916, Euclidis Opera Omnia, 8 vol. y suplementos, Ed. Teubner Leipzig

 3. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+function%28x%29 Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web

 4. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e+number Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web

5. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, published electronically at http://oeis.org, 2010. http://oeis.org/search?q=2%2C7%2C1%2C8%2C2%2C8%2C1%2C8%2C2%2C8&language=english&go=Search Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web

 6. J. Bernoulli (1.690), "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the ''Journal des Savants'' [''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''], in the year 1.685) ''Acta eruditorum'', pp. 219-223.

 7. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=compound+interest&a=*C.compound+interest-_*MathWorld-&a=FSelect_**PresentValueFutureValue-.dflt-&a=*FS-_**PresentValueFutureValue.PV-.*PresentValueFutureValue.FV-.*PresentValueFutureValue.i-.*PresentValueFutureValue.n--&f4=%241000&f=PresentValueFutureValue.FV%5Cu005f%241000&f5=6+%25&f=PresentValueFutureValue.i%5Cu005f6+%25&f6=5&f=PresentValueFutureValue.n%5Cu005f5&a=*FVarOpt.1-_**-.***PresentValueFutureValue.compoundingfreq---.*-- Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web

8. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine, http://www.wolframalpha.com/input/?i=li%28x%29, Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web

 9. C. F. Gauss, Werke, Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863

 10.  J. E. Littlewood. The quickest proof of the prime number theorem. Acta Arith., 18:83–86

11.  G.H. Hardy & E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Press, fifth edition 197

12.  Livio, Mario (2003): The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. 

13.  Mendoza, Gustavo (2015): “Sobre el número de Compuestos menores a una cantidad dada y el número φ” http://gausstau.blogspot.com.co/2015/11/sobre-el-numero-de-compuestos-menores.html  

Sobre el número de Compuestos menores a una cantidad dada y el número φ       

                                            Gustavo Francisco Mendoza Grisales

“In the higher arithmetic the most elegant theorems frequently arise experimentally as the result of a more or less unexpected stroke of good fortune, while their proofs . . . elude all attempts and defeat the sharpest enquiries” — C.F. Gauss

En el séptimo libro de los Elementos (siglo 3 a.C.), Euclides definió a un número primo como "aquél que sólo es medido por la unidad" (definición 12) y a la unidad como "aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una" (definición 1); asimismo, definió al número como una "pluralidad compuesta de unidades" (definición 2), al número compuesto (e.g. 4,6,8,10,12,14,15,16…) como "aquel que es medido por algún número primo" (definición 14), y al número fi (simbolizado por la letra griega φ) como la "media y extrema razón de un segmento" (libro 6, proposición 30)(1).

"La geometría tiene dos tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras; el otro, la división de un segmento en razón media y extrema. Al primero se le puede comparar a una medida de oro; a la segunda se le puede considerar una preciosa joya" <<J. Kepler>>

La sección áurea surge a partir de la división del segmento AC con el punto B en extrema y media razón, lo cual se reduce a la ecuación algebraica x^2 – x – 1 = 0  cuyas raíces son  φ  y -1/φ.  AC/AB = AB/BC = φ ≈ (1+ √5)/2 ≈ 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544…

Numero Fi (CLICK aquí)

Por otro lado, Euclides no conocía el número e, el cual es la base de los logaritmos naturales y de la función exponencial; de hecho, al parecer nadie conocía a la constante de Napier (i.e. 2,718281828...) antes de Jacob Bernoulli (siglo 17 d.C.), quién la descubrió cuando encontró la respuesta a una pregunta sobre interés compuesto y la definió como el valor límite de un interés continuo sobre una cantidad n dada (2):

limn→∞ (1+1/n)^n = e ≈ 2,71828182845904523536028747….

Número e: 2,71828182845904523536... (CLICK aquí)

Casi un siglo después de la publicación de Bernoulli, Gauss conjeturó que el enésimo número primo, o “pn”, es asintóticamente igual a n veces el logaritmo natural de n (i.e. limn→∞ nlog(n)/pn = 1) (3), lo cual significa que la cantidad de primos que hay en cualquier valor de n > e se aproxima al número de veces que log(n) está contenido en n (i.e. n/log(n)), y también quiere decir que la proporción de números menores a una cantidad dada que son primos, se aproxima a la cantidad de veces que el log(n) está contenido en 1 (i.e. 1/log(n)).

Posteriormente en el año 1896, Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin descubrieron, de modo independiente, una demostración analítica de la conjetura de Gauss (4), por lo que desde entonces dicha conjetura se conoce como el Teorema de los Números Primos, TNP (53 años después, Paul Erdös y Atle Selberg publicaron por separado una demostración “elemental” del TNP (5)):

I. limn→∞ π(n)log(n)/n = 1

Teorema de los Números Primos TNP ("local minimun"=e=2,718... en n=e) (CLICK aquí)

Sin embargo, debido a la validez asintótica del TNP, dicho teorema no es del todo útil para determinar con exactitud el rango de la función contadora de números primos, conocida como π(n), para cualquier valor finito de su dominio, pues aunque el error relativo del TNP ciertamente tiende a 1, su error absoluto tiende a infinito:

II.  limn→∞ π(n) –  n/log(n) = ∞

Función contadora de Números Primos: Pi(n) (CLICK aquí)

De hecho, el número de las primeras cifras decimales de π(n) que acierta el TNP es de aproximadamente log10log10(n) ó [loglog(n)-loglog(10)]/log(10), razón por la cual sólo en valores “suficientemente grandes” de n se puede apreciar mejor dicho acierto (6):

PNT: 10^1000/log(10^1000) = 4,342944819... × 10^996

π(10^1000) = 4,344832576… × 10^996  

   log10log10(10^1000) = 3

Número estimado de las primeras cifras de pi(n) que acierta el TNP (CLICK aquí) 

Sin lugar a dudas, conocer el modo en que los números primos se distribuyen a lo largo de la recta numérica es de una importancia tal que no necesita demostración, tanto en la Teoría de Números como fuera de ésta, pues el Teorema Fundamental de la Aritmética se basa en la multiplicación de los primos, cuyas propiedades aritméticas son la base de múltiples aplicaciones externas a las matemáticas, como la música, el arte y la criptografía.

Adicionalmente, puesto que hay muchas preguntas milenarias con respecto a la secuencia de los números primos que aún no se han podido responder satisfactoriamente utilizando tan sólo las herramientas matemáticas que se conocen hasta la actualidad, es preciso entonces desarrollar nuevas herramientas que puedan iluminar dicha secuencia, la cual ha permanecido en una especie de “penumbra” teórica para los matemáticos… y si no se desarrollan nuevos conceptos, entonces quizá pueda ser útil cambiar de perspectiva y abordar las mismas preguntas con la misma información conocida pero desde una óptica distinta, de modo que se pueda obtener "más información con la misma información".

En efecto, cuando se observa un objeto desde múltiples ángulos y a distancias diferentes se pueden observar detalles que quizá no se perciban desde una misma perspectiva, y así, en vez de preguntarse cuántos números primos hay en n, o cuál es el valor del primo n (i.e. el enésimo primo), se puede preguntar sobre el número de Compuestos menores que una cantidad dada, o cuál es el valor del enésimo Compuesto.

Ciertamente, si se conociera con exactitud la distribución de los números primos, ello implicaría que también se conocería la de los compuestos y viceversa; además,  dado a que la probabilidad de que un número n impar sea compuesto es directamente proporcional a la cantidad de sus dígitos, entonces quizá los compuestos proporcionen más información sobre los primos debido a su abundancia, pues visto como un todo, el conjunto N de los números naturales está compuesto casi por entero de números compuestos, o por lo menos en un 100% asintótico.  

Efectivamente, la probabilidad P de que un número n sea primo disminuye conforme n crece (la P de que n sea primo es aproximadamente de 1/log(n)), mientras que la P de que n sea compuesto se incrementa cada vez que n crece (la P de que n sea compuesto es aprox. de [log(n) – 1]/log(n)); entonces en el límite cuando n →∞ la P de que n sea primo es 0%, mientras que la P de que ese mismo n sea compuesto es del 100% en ese mismo límite; evidentemente,  es preciso señalar que estos resultados son sólo ciertos imponiendo un límite arbitrario a n, pues Euclides ya demostró mediante un argumento lógico (i.e. por reducción al absurdo) de que siempre se puede hallar un número primo mayor que otro primo (proposición 20, libro IX) (1).

En este orden de ideas, en la búsqueda de una fórmula que calcule el número de Compuestos menores que una cantidad dada, pude derivar la siguiente expresión a partir del TNP:

III. C(n) ≈ n[(log(n))^2 - log(n) - 1]/(log(n))^2

Cantidad teórica de Números Compuestos que hay en n (CLICK aquí) 

cantidad estimada de números compuestos que hay en exp(x) con una raíz en fi = 1,6... (CLICK aquí)

La fórmula III arroja valores muy aproximados (para cualquier n > 6) a los del rango de la función contadora de números compuestos o C(n), por lo que se puede establecer la siguiente conjetura con respecto a la distribución de los compuestos (ver sub-apéndice Zero):

IV. limn→∞ (C(n)[(log(n))^2])/(n[(log(n))^2 - log(n) - 1]) = 1

Además de que la fórmula III permite obtener un estimado estadísticamente significativo del número de compuestos que hay en n, también demuestra fehacientemente la conexión del número φ con la teoría de números, en tanto que la fórmula III tiene dos raíces en n = exp(-1/φ) y en n = exp(φ):

           Reemplazando a n por exp(φ) se obtiene:

V. e^φ x [(log(e^φ))^2 – log(e^φ) – 1]/[(log(e^φ))^2]
                            =  e^φ x (φ^2 – φ – 1)/φ^2 

                                                      = 5,043…x (2,618… – 1,618…– 1)/2,618…
= 0 
Raíz de la fórmula III: n=exp(1,61803398874989484820458683436...) (CLICK aquí)    

                                                                                                                                                          Ahora reemplazando por exp(-1/φ):

VI. e^-1/φ x ((log[e^-1/φ])^2 – log[e^-1/φ] – 1)/(log[e^-1/φ])^2
                                    = (1 + φ – φ^2  )/exp(1/φ)
                                                    = (1 + 1,618…– 2,618…)/(1,855…) 
= 0
Raíz conjugada (CLICK aquí)

                    

Es preciso resaltar que estas raíces "doradas", asociadas a los números compuestos, tienen también una conexión directa con los números primos mediante una fórmula que deduje del TNP para calcular el enésimo primo pn con mayor precisión y, por ende, también la cantidad de primos menores a un número dado (6):

VII.  pn ≈ x.exp(x).exp(1/x) , x = log(n)

enésimo primo teórico (CLICK aquí)

Si x se extiende a los números reales R, la fórmula VII tiene 

su valor mínimo en x = -φ (i.e. -1,6180339...), reemplazando:
Valor mínimo en n=-fi=-1,61803398874989484820458683436... (CLICK aquí) 

-φexp(φ)exp(1/φ) = -φ/exp(5^1/2) ≈ -0,1729...
Haga CLICK aquí 

De la fórmula VII hablo con más detalle en 6 (ver la sección de la bibliografía), donde explico cómo deduje la raíz logarítmica de e (i.e. exp[1/log(n)]) como una expresión asintóticamente igual al error del TNP, es decir:

* limn→∞ (π(n)log(n)/n)^log(n) = e = 2,718281828459… 

                  * e^1/log(n) = exp[1/log(n)] ≈ π(n)log(n)/n

Identidad asintótica

Por último, sobre la fórmula VII sólo quiero resaltar un punto de “media y extrema importancia”, el cual relaciona al número φ con el número e utilizando solamente el TNP, pues φ emerge “expontáneamente” como exponente de e cuando se añade al TNP la raíz logarítmica de e como “factor de ajuste” de dicho teorema, de manera que la fórmula séptima no sólo permite obtener una mejor estimación del enésimo primo pn, sino que también demuestra la conexión áurea de φ con el TNP. 

Asimismo, las fórmulas III y VII están ligadas por dos números e y F  (F es el valor de n donde una fórmula asintótica para la función π(n), derivada de VII para calcular el número de primos menores a una cantidad n dada, obtiene un valor mínimo local; asimismo, F constituye una singularidad de una fórmula derivada de III para estimar el valor del enésimo compuesto… (ver el Apéndice Lambda punto 4 y 2). Los números e y F vinculan a la media y extrema razón de Euclides con la Teoría de Números pues son dos números que tienen en común la distribución de los números primos y compuestos de acuerdo a las propiedades aritméticas de las fórmulas III y VII (6):

F =  e^φ ≈ 5,0431656433600286513118821892852…

exp(1,61803398874989484820458683436...) (CLICK aquí) 

* e^φ = ∑φ^n/n! = 1 + φ + φ^2/2 + φ^3/6⋯+ φ^n/n!

exp(fi) como el valor límite de una sumatoria infinita (CLICK aquí)

e= exp(-1/φ) ≈ 0,53900308272404462096193789836…

Haga CLICK aquí

Apéndice L- Lambda 

  La numeración comienza con el primer número compuesto (i.e. 4), sigue con el primer número primo impar (i.e. 3), luego con el primer y último número primo par (i.e. 2) y termina con el primer par (i.e. 0) -el 1 no se considera un número y por ende no es primo ni compuesto, según las definiciones de Euclides, por eso se omite en esta "enumeración"-:

4) Sea Cn el enésimo número Compuesto tal que C1 = 4, C2 = 6, C3 = 8, C4 = 9, C5 = 10,              C6 = 12… Cn, entonces de la fórmula III se deduce que:

Cn ≈ n[(log[n])^2]/[(log[n])^2 – log(n) – 1]

enésimo compuesto teórico (CLICK)  

La función anterior tiene una singularidad en  e^φ = F.≈ 5,04316564336…

Compuesto número exp(x)-th con una singularidad en fi = 1,618... (CLICK)

3) Sea pn el enésimo primo tal que p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13… pn,                   entonces de la fórmula VII se deduce que (6):

pn ≈ exp[1/log(n)]n(log[n])

enésimo primo teórico (aplicando la raíz logarítmica de e al TNP) (CLICK)

La función tiene un valor mínimo de -φ/exp(5^1/2) ≈ -0,1729  
cuando n = exp(-φ) = 1/F.≈ 1/5,043 ≈ 0,1982...
función asintótica del primo número exp(x)-th: valor mínimo en x = -fi = -1,618...(CLICK)

2) De la fórmula VII se puede deducir una fórmula para estimar, con mayor precisión que          el TNP, el número de primos menores a una cantidad n dada (6):

  π(n) ≈ exp[1/log(n)]n(1/log[n])

Teorema "Dorado" de los Números Primos (CLICK)

Fórmula asintótica de la cantidad de primos que hay en exp(x) (CLICK)

cuando n = exp(φ), se obtiene el número e^φ[e^(φ^-1)]φ^(-1)  correspondiente a un valor local mínimo de la fórmula anterior (6):

e^φ[e^(1/φ)]/φ = exp(φ)exp(1/φ)φ^(-1)

                                                                   = exp(√5)/φ ≈ 9,3564.../1,6180... 

                                                                    ≈ 5,78261586694481321762099…

"Local minima" (CLICK)

Sub-Lpéndice zero No Trivial-0

Sea c(n) la función contadora de números compuestos,   g(n), el número teórico de compuestos menores a una cantidad n dada (ver fórmula III), % el porcentaje de precisión del valor teórico con respecto al real, Cn el enésimo número compuesto y Gn el valor teórico de Cn (ver punto 4 de este apéndice) con su respectivos porcentajes de precisión %. Cabe resaltar que todos los valores teóricos son asintóticamente iguales a los valores reales:

n c(n) g(n)                   %           Cn           Gn            %     

10  5 3,77 75,42 18 26,51 67,93

10^2 74 73,57 99,42 133 135,92 97,85

10^3  831 834,28 99,61 1.197 1.198,64 99,91

10^4  8.770   8.796,38 99,71 11.374 11.368,31 99,95

10^5 90.407 90.559,66 99,83 110.487 110.424,44 99,94

10^6 921.501 922.378,37 99,91 1´084.605 1´084.153,78 99,96

10^7 9´335.420  9´341.087,13 99,94 10´708.555 10´708.392,06 99,97

10^8 94´238.544 94´276.613,2 99,96 106´041.745 106´070.844,72 99,98

10^9 949´152.465  949´416.518,1 99,97 1.053´422.339 1.053´278.493,6 99,99

10^10  9.544´947.488 9.546´844.348,4 99,98 10.475´688.327 10.474´665.381,6 99,99               

       En la tabla anterior se puede ver que: 

            c(n) <  n < Cn 

aunque en el infinito esta desigualdad se percibe como una "identidad asintótica", es decir:

limn→∞  c(n) = n = Cn

Adicionalmente a la tabla anterior, la siguiente tabla muestra cómo las medias aritméticas (m.A.) y las medias geométricas (m.G.)entre los valores de c(n)  y Cn se aproximan cada vez más a n conforme n se incrementa, y por ende sus medias heronianas (m.H.) también se aproximan asintóticamente a n:

  n        m.A.            m.H.                  m.G.     

10 1,150    x 10 10,83 9,49

10^2 1,035    x 10^2 102,07 99,21

10^3 1,0140  x 10^3 1.008,45 997,35

10^4 1,0072  x 10^4 10.043,83 9.987,49

10^5 1,0044  x 10^5 100.279,32 99.943,98

10^6 1,0030  x 10^6 1´001.946,09 999.732,26

10^7 1,0022  x 10^7 10´014.139,27 9´998.442,79

10^8 1,0016  x 10^8 100´082.127,17 99´989.657,36

10^9 1,0010  x 10^9 1.000´834.668,79 999´929.202,36

10^10 1,0008  x 10^10 10.006´710.183,77 9.999´494.736,33

En la tabla anterior se puede ver que: .

m.A. > m.H. > n > m.G. 

Sin embargo, en el infinito esta desigualdad se percibe como una identidad "asintótica", es decir:

limn→∞ m.A. = m.H. = m.G. = n

Es importante resaltar que las anteriores identidades asintóticas son factibles sólo por la imposición de un límite, pues ciertamente las desigualdades se conservan sin que importe el número de cifras de n, en otras palabras, dichas identidades asintóticas no tienen ninguna validez matemática pero son, en efecto, identidades sin diferencias estadísticamente significativas.

Por último, con respecto a los números primos, y hablando de identidades asintóticas, cabe señalar que en la demostración "elemental" del TNP, Erdös y Selberg se valieron de la siguiente identidad -válida sólo cuando n tienda a su límite "metanumérico": el infinito-:

 limn→∞ pn = pn-1

Asimismo, con respecto a los valores del enésimo primo pn y de la función contadora de primos π(n) divergen rápidamente en una proporción de aproximadamente [log(n)]^2 (7):

limn→∞ (pn/π(n))^1/2 = log(n)

limn→∞ pn = π(n)(log[n])^2

limn→∞  π(n) = pn/(log[n])^2 

Igualmente, la media aritmética (m.A.) entre pn y n diverge de su media geométrica (m.G.) en un factor de aproximadamente log(n)/2 = log(n^1/2), es decir que la m.A. es, asintóticamente, igual a la m.G. por log(√n) (7): 

limn→∞  (pn + π(n))/2 = log(√n)(pnπ(n))^1/2 = nlog(n)/2 = pn/2

limn→∞ (pn+π(n))(pnπ(n))^-1/2 = log(n)

limn→∞ (pn π(n))(pnπ(n))^1/2  = n

Bibliografía:

1) J.L. Heiberg & H. Menge, 18831916, Euclidis Opera Omnia, 8 vol. y suplementos, Ed. Teubner Leipzig.

2) J. Bernoulli (1.690), "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the ''Journal des Savants'' [''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''], in the year 1.685) ''Acta eruditorum'', pp. 219-223.

3) C. F. Gauss, Werke, Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863

4) J. E. Littlewood. The quickest proof of the prime number theorem. Acta Arith., 18:83–86

5) G.H. Hardy & E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Press, fifth edition 1979

 

6) G.F. Mendoza: El número φ y su conexión "mínima" con los números primos. 2016

7) G.F. Mendoza, Estudio estadigráfico de la distribución "anormal" de los números primos (Artículo aún en desarrollo, sin publicar)