Esta entrada participa en la Edición 6.X "El grafo" del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas Carnaval de Matemáticas edición 6
El número φ y su conexión "mínima" con
los números primos
(φ = 1/2 + √5/2 = 1,6180339...)
Por: G. F. Mendoza
"En Aritmética, los teoremas más elegantes frecuentemente surgen de manera experimental como resultado de un golpe de buena fortuna mas o menos inesperado, mientras sus
pruebas eluden todo intento y
derrotan las mas agudas indagaciones..." C. F.
Gauss
El Teorema Fundamental de la Aritmética, o teorema
de factorización única, sostiene que a todo número natural mayor a 1 es factible representarlo, de manera única, como producto de factores primos (1). Por otro lado, pero en conexión con lo anterior, en el histórico libro de
los Elementos, el griego Euclides (siglo 3 a.C.) definió al 1, o la
unidad, como aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se
llama "uno" (definición 1); también definió a un número
como una pluralidad compuesta de unidades (definición 2); por lo
cual aunque al 1 lo definen comúnmente como un número natural, según Euclides éste no es un número per
se, sino la unidad estructural de los números sensu strictu (2).
Adicionalmente, de acuerdo
con los Elementos, un número compuesto (i.e. 4, 6, 8,
10, 12, 14, 15, 16, 18…C_n) es aquel que es medido por algún número primo (definición 14), y
Por otro lado, existe un número irracional y transcendente conocido como e (cuyo valor, truncado a trece cifras, es 2,718281828459...) de gran "trascendencia" en el Cálculo, casi equivalente a la del número p en Geometría; además, e presenta propiedades interesantes que revisten gran importancia dentro y fuera de las Matemáticas, una de las cuales es que la función exponencial (i.e. e^x = exp(x)) permanece sin cambio aunque se derive o se integre -por eso hay quienes afirman metafóricamente que el "rey del Cálculo" es e- (4).
Sin lugar a dudas las cualidades sobresalientes de e son materia prima de todo un libro, y remito al lector interesado a la On-line Encyclopedia of Integer Sequences (conocida como oeis por sus siglas en inglés), donde encontrará más información detallada, y científicamente confiable, acerca de este número tan e-special (también puede hallar muchos datos sobre otras secuencias diferentes de números y sus interacciones aritméticas) (5).
De cierto modo, llama la atención de e su notable ausencia en los 13 libros de los Elementos, ya que Euclides ni siquiera sospechaba su existencia; de hecho, nadie antes del siglo 17 d. C. conocía este número trascendental, cuya primera referencia la hizo el escocés John Napier en 1.614, y cuyo valor fue determinado, como un valor límite, por el suizo Jacob Bernoulli (6), en 1.685, resolviendo así un problema de e-conomía sobre interés compuesto (7):
limn→∞ (1+1/n)^n = e (CLICK here)
Probablemente, el número e atrae más la atención por su conexión natural con la distribución de los números primos, pues el valor de p(x) se aproxima "asintóticamente" al cociente entre x y log(x), es decir, cuando x tiende a infinito, la cantidad de números primos menores o iguales a x se considera "igual a" x/log(x).
Cantidad aproximada de números primos menores o iguales a x (CLICK here)
Cantidad aproximada de números primos menores o iguales a x (CLICK here)
Es importante señalar que, antes del límite cuando x tiende a infinito, siempre se conservará la siguiente desigualdad si, y sólo si, x no es lo suficientemente "grande": p(x) > x/log(x). De igual manera, conforme x sea más grande, asimismo la diferencia entre p(x) y x/log(x) será cada vez mayor, aunque en términos relativos el error sea cada vez menor.
limn→∞ π(n) - log(n)/n = ∞
Adicionalmente, el reconocido como "príncipe" en las matemáticas descubrió una mejor estimación de p(x) que la que brinda el cociente x/log(x), conocida como la integral logarítmica, o li(x), una integral fundamental asociada al Teorema de los Números Primos (existe una integral denominada la integral logarítmica desplazada, la cual evita la singularidad en el dominio de integración de li(x)) (8).
Enhorabuena, desde muy jovén Gauss estudió la distribución de los números primos entre los números naturales y, analizando también las tablas de los logaritmos naturales, cuya base vale recordar que es e (la expresión log(x) representa en este blog al logaritmo natural de x), este matemático alemán pudo determinar, siendo sólo un adolescente menor de 18 años, que dicha distribución está estrechamente ligada con dichos logaritmos. De hecho, Gauss reconoció un aparente "patrón logarítmico" en la cantidad de números primos menores o iguales a un número natural x, y conjeturó a finales del siglo 18 que el valor de p(x) se aproxima notable y asintóticamente al cociente x/log(x) (9):
limn→∞ π(n)log(n)/n = 1
Posteriormente, casi 100 años después al final del siglo 19, la conjetura de Gauss se constituyó en el Teorema de los Números Primos (en adelante TNP), cuya demostración analítica la publicaron de forma independiente Jacques Hadamard y Charles-Jean de la Vallée Poussin, en 1.896 (10), apoyados principalmente en los escritos del matemático alemán Bernhard Riemann (1.826 - 1.866) y, en particular, en la distribución de los famosos ceros no triviales de la función zeta de Riemann (53 años después, Paul Erdös y Atle Selberg descubrieron "juntos", pero publicaron por separado, una demostración “elemental” del TNP (11)).
Desde la aparición de la primera demostración no analítica del TNP, han surgido muchas demostraciones más de dicho teorema, tanto analíticas como elementales, y quizá sea mínimo lo que se le pueda añadir actualmente al TNP. Sin embargo, hace muy poco tiempo encontré una conexión "mínima" entre el TNP y un número de media y extrema importancia distinto a e (vale la pena resaltar que el TNP es uno de los teoremas más importantes en Teoría de Números después del Teorema Fundamental de la Aritmética, el cual se basa en números primos).
En efecto, enhorabuena pude deducir del TNP a la "raíz logarítmica de e" como una aproximación asintótica del cociente p(x)log(x)/x, en tanto que dicho cociente arroja un número C tal que 1 <= C < 2, y C.x/log(x) es un cálculo exacto, aunque evidentemente tautológico, del valor de p(x) para cualquier valor finito de x, que para el caso "curioso" de x = 100, p(100)log(100)/100 vale EXACTA e interesantemente la mitad del logaritmo natural de diez, es decir, C = 1/2(log(10)) = p(100)log(100)/100, lo cual significa que 1/2(log(10)).100/log(100) = p(100) = 5^2 = 25.
Ahora bién, cuando se añade la raíz log(x) de e al TNP, se obtiene una expresión "dorada" del TNP, la cual permite una estimación más precisa de p(x) que x/log(x). Adicionalmente, cuando la raíz log(x) de e se multiplica por n/log(n), surgen expontáneamente 2 puntos críticos asociados al número fi (i.e. φ = 1/2 + √5/2), los cuales corresponden a los valores mínimos locales de dicha multiplicación: en un punto crítico, φ aparece como exponente "dorado" de e, es decir que la expresión "dorada" del TNP alcanza un valor mínimo local de (e^φ)(e^(1/φ))/φ = exp(√5)/φ = 9,36./1,62. = 5,78., en x = exp(φ) = e^φ = 5,04., y en el otro punto crítico de la expresión "dorada" del Teorema de los Números Primos, φ aparece de nuevo, pero esta vez como índice en la raíz "dorada" del número e, cuando el TNP "dorado" alcanza su menor valor mínimo local, el cual es de -φ/[(e^φ)(e^(1/φ))] = -φ/exp(√5) = -1,62./9,36. = -0,173., en x = 1/exp(1/φ) = 1/1,86. = 0,54.
En otras palabras, con sólo agregar la raíz logarítmica de e al TNP, este teorema pasa de tener un valor mínimo local en x = exp(1), a tener un valor mínimo local en x = exp(φ), un resultado que quizá sería definitivamente trivial, o pasaría por completo inadvertido, si el número φ no tuviera la importancia que ha tenido durante ya miles de años en las matemáticas (considérese también la creciente importancia de φ en otros campos del conocimiento matemático, no sólo en geometría y ahora en Teoría de Números).
Ciertamente las propiedades aritméticas y geométricas del número φ, definido por Euclides como la "media y extrema razón" de un segmento [de línea] (libro 6, proposición 30) (2), han hecho de φ un número, además de interesante, muy importante más allá de los límites matemáticos, siendo protagonista en campos tan diversos como la mecánica cuántica, la biología, la música y el arte. Inclusive, Leonardo Da Vinci llegó al extremo y medio de considerar "divino" al número φ, considerado bajo ciertos criterios como el número más "irracional" sin ser transcendental, pues es algebraico (otros "sobrenombres" actuales de φ son: número dorado o de oro, proporción aúrea, extrema y media razón, entre otros) (12).
Por tal razón, aunque la conexión entre el número φ y el TNP sea "mínima", no deja de ser, a mi juicio, una relación bastante "sospechosa" -en el buen sentido de la palabra-, pues aunque hoy día la relación del número e con los números primos pueda parecer "trivial", casi 220 años después de que Gauss conectara por primera vez en la historia de la Teoría de Números a los primos con e, muy probablemente este "sencillo" resultado tuvo que haber tomado por sorpresa a la comunidad matemática de ese entonces.
Por ahora es preciso seguir investigando más al "número de oro" y su relación con el TNP. Quizá halla más información implícita en esos puntos críticos que se pueden observar en este gráfico o plot. Tal vez el número φ sea la "clave de oro" para la comprensión cabal de la distribución de los números primos y, porqué no especular lo mínimo, probablemente el número "divino" permita, junto al número e, el desarrollo de un algoritmo "elemental" para hallar "rápidamente" cualquier número primo, sin importar cuántas cifras pueda tener dicho primo.
En resumen, el número φ está asociado formalmente con los números primos mediante la raíz logarítmica de e y el Teorema del Número Primo, un hecho que aporta un dato relevante para comprender aún más la distribución de estos números tan intensamente estudiados por generaciones de matemáticos desde la antigüedad, los cuales plantean preguntas sencillas de formular pero difíciles de responder; de hecho, existen varias incógnitas sobre los primos que se han conservado vigentes desde que fueron hechas hace milenios, sin que nadie haya podido resolverlas satisfactoriamente hasta el día de hoy.
Fi.nalmente, es importante señalar que el número φ también se encuentra asociado a la distribución de los números compuestos (13) y, puesto que los números no primos mayores a uno son necesariamente números compuestos, y que si se sabe con exactitud cuántos primos hay en cualquier número dado x, también se sabrá cuántos compuestos hay con exactitud en ese mismo número x, entonces ciertamente la conexión mínima del número φ con el TNP es, sin presunción ni exageración alguna, NO TRIVIAL.
φ
e
p
4. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha
Computational knowledge engine,
6. J. Bernoulli (1.690), "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione
problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some
questions about interest, with a solution of a problem about games of chance,
proposed in the ''Journal des Savants'' [''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''],
in the year 1.685) ''Acta eruditorum'', pp. 219-223.
9. C. F. Gauss, Werke, Bd 2, 1st ed,
444-447. Göttingen 1863
10. J. E. Littlewood.
The quickest proof of the prime number theorem. Acta
Arith., 18:83–86
- Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine, http://www.wolframalpha.com/input/?i=fundamental+theorem+of+arithmeticRecuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web
2. J.L.
Heiberg & H. Menge, 18831916, Euclidis Opera Omnia, 8 vol. y suplementos,
Ed. Teubner Leipzig
3. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha
Computational knowledge engine,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+function%28x%29
Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web
http://www.wolframalpha.com/input/?i=e+number
Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web
5. The On-Line Encyclopedia of Integer
Sequences,
published electronically at http://oeis.org, 2010. http://oeis.org/search?q=2%2C7%2C1%2C8%2C2%2C8%2C1%2C8%2C2%2C8&language=english&go=Search Recuperado en enero 24 de
2016, del sitio Web
7. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha
Computational knowledge engine,
8. Stephen, Wolfram (2009): WolframAlpha Computational knowledge engine, http://www.wolframalpha.com/input/?i=li%28x%29, Recuperado en enero 24 de 2016, del sitio Web
11. G.H. Hardy & E.M. Wright,
An Introduction to the Theory of Numbers Oxford Press, fifth edition 197
12. Livio, Mario (2003): The
Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number.
13. Mendoza, Gustavo (2015): “Sobre
el número de Compuestos menores a una cantidad dada y el número φ” http://gausstau.blogspot.com.co/2015/11/sobre-el-numero-de-compuestos-menores.html
